Lineárne lomené funkcie

V nasledujúcich príkladoch budeme vyšetrovať priebeh lineárne lomených funkcií a kresliť ich grafy. Sú to funkcie definované predpisom $$y = \frac{ax+b}{cx+d},$$ kde $ad-bc \ne 0$.

Pri vyšetrovani priebehu každej takejto funkcie nás tu zaujímajú predovšetkým tieto informácie:

  • obor definície funkcie;
  • intervaly, na ktorých je funkcia monotónna;
  • asymptoty grafu funkcie;
  • globálne a lokálne extrémy funkcie;
  • nulové body funkcie.

V niektorých úlohach bude treba zostrojiť dotyčnicu grafu funkcie vo vybranom bode.

In [1]:
import numpy as np
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from maux import *

Príklad

Vyšetrenie priebehu a nakreslenie grafu funkcie $$y = \frac{x}{x-1}.$$

Poznámka. Všimnime si, že platí $$ \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1} \\ \frac{x}{x-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{x}} . $$

In [2]:
#### vstupné údaje
def f(X): return X / (X - 1)
X = np.linspace(-1, 3, 80+1)

X1, X2 = X[X < 1], X[X > 1] # číslo 1 nepatrí do oboru definície
Y1, Y2 = f(X1), f(X2)
#with np.errstate(divide='ignore'): Y1, Y2 = f(X1), f(X2)

#### obrázok s dvoma diagramami
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(18, 6)

### 1. diagram
init_subplot(ax1)
ax1.set_title(r"Graf funkcie $y = \dfrac{x}{x-1}$")

## graf funkcie
XY1 = ax1.plot(X1, Y1)
ax1.plot(X2, Y2, c=XY1[0].get_color())

### 2. diagram
init_subplot(ax2)
ax2.set_title("Priebeh funkcie")

## intervaly, na ktorých je funkcia monotónna
XY1 = ax2.plot(X1, Y1, label="klesajúca")
ax2.plot(X2, Y2, c=XY1[0].get_color())

## asymptota so smernicou v bode ±∞
Ax1 = X
Ay1 = np.ones(len(Ax1))
ax2.plot(Ax1, Ay1, 'k--', lw=1, label="asymptota")

## asymptota bez smernice v bode 1
Ay2 = np.linspace(-6, 8, 140+1)
Ax2 = np.ones(len(Ay2))
ax2.plot(Ax2, Ay2, 'k--', lw=1)

## nulové body
ax2.plot(0, 0, 'ko', label="nulový bod")

ax2.legend()
ax2.grid()

### spoločné nastavenie pre oba diagramy
plt.ylim(-6, 8)

### archivácia obrázka
#plt.savefig("ex02_1.png")

### samotné zobrazenie
plt.show()
plt.close('all')

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{1+x}{1-x}.$$

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{2+3x}{1-4x}.$$

Úloha (5 bodov)

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{3x-1}{x-1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 0$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{3x+5}{x+2}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -3$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{5+4x}{x+1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 0$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{7-2x}{2x+3}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -1$.